電束密度【電磁気学を分かりやすく解説】

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電束

電気力線と同様に電場の方向を表します。電束密度と唯一異なるのが本数で、正電荷から湧き出す本数は、電荷1Cにつき1本とします。q[C]の電荷からはq[本]の線が出ることになります。電気力線だとq/ε[本]でした。そのため、密度がそのまま電場を表すことにはなりません。

静磁場(磁場が時間的に変化しない)の下では途中で消えたり増えたりはしません。そのため、q[C]の電荷を囲む適当な閉曲面を考えたとき、その閉曲面を貫く本数というのはq[本]のままです。しかし、電荷から離れるほど本数の密度は小さくなります。

電束密度

電束の密度、つまり単位面積を貫く電束の本数を電束密度とします。電気力線の密度が電場に対応していたように、電束密度も向きを持ったベクトルとして表します。その向きというのは単純にその場所における電束の向きと同じです。(もし、電束を斜めに横切るような面で密度を計算した場合は、電束密度ベクトルのその面に垂直な方向の成分が出てくるということです。)

電場というものがあるのに、なんでわざわざ似たようなものをもう1つ定義するのかというと、誘電体を考えたりするときに誘電率に依らない電場のようなものがあると便利だったりするからです。電束というのは誘電体中であっても真空中の場合と何ら変わるところがないのです。

電場はと言うと、同じ大きさの電荷を置いた場合でも、誘電体中で観測できる電場というのは真空中で観測するよりも弱くなってしまうのです。電場だとガウスの法則が成り立たないようなところでも、電束密度はガウスの法則を満たしてくれるのです。

点電荷のつくる電束密度

電気力線のページで書いたこととほとんど同じですが、点電荷から距離がr離れたところにおける電束が単位面積を貫く本数、すなわち電束密度D(r)は

\( D(r)=\dfrac{q}{4\pi r^{2}}\)

となります。比例定数が入ること無く、電荷から湧き出したものが放射状に広がっていくというのを最もシンプルに表現していると言えます。電気力線だと、密度がそのまま電場を表していたわけですが、電束は本数が電気力線のε倍になっていることを考慮すると、電場との間には

\(\boldsymbol E(r)=\dfrac{1}{\varepsilon}\boldsymbol D(r)\)

の関係が成り立ちます。

電束密度と電場、どちらが本質的か

この式の意味は、電荷の周りには空間の性質に依存しない電束密度というものがあって、実際にできる電場はその1/ε倍になったものができると解釈することができます。実際に観測されるのは電場なのだから電束密度なんて定義しなくて良いのではと思えるかもしれません。現代では確かに電場だけで説明できるようになったのですが、それでも電束密度の概念が便利なことも合って、今でも残っています。

物質中の電場を考えるときには、その物質の誘電率さえ分かっていれば、誘電体に影響されることのない電束密度を使って簡単に電場を求めることができます。また、マクスウェルの方程式にあるガウスの法則は電束密度を使うことで、真空中かどうかや空間を満たしている物質の種類に関係なく

\(div\boldsymbol D=\rho\)

という普遍的な形で表現できるのです。電場で書こうとするとどうしても誘電率を含めなくてはならず、見た目の美しさにも欠けます。 とは言え、電場の方が本質的なことに変わりはないので、

\(\boldsymbol E=\dfrac{1}{\varepsilon}\boldsymbol D\)

の形で覚えておいた方が、あくまで電場の方が本質的なものという捉え方を崩さずに済むのではないでしょうか。