クーロンの法則と電場【電磁気学を分かりやすく解説】

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クーロンの法則

電気にはプラスとマイナスという2つの種類があり、プラスの電気とマイナスの電気の間には引きつけ合う力が、同種の電気ではお互いに遠ざけようとする力が働きます。これを静電気力やクーロン力と呼びます。静電気が起きたときに、電気を帯びた物体同士が力を受けるのはそのためです。

物体が帯びた電気の量のことを電荷と呼ぶのですが(ただ漠然と「たまっている電気」のことも指します)、クーロンという人は、そんな電荷の間に働く力がどんなものなのか実験をし、次のことを見つけました。2つの電荷があったときに、その間に働く力の大きさは

  • 2つの電荷の積に比例する
  • 電荷間の距離の2乗に反比例する

これをクーロンの法則と言います。上のことを言い換えると、2つの電荷q1[C]、q2[C]があったときに、その間に働く静電気力F[N]というのは、2つの電荷の間の距離をr[m]として

\( F = k \dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\)

という式の形になるということです。分母のr²が入っているで、力の大きさは距離の2乗に応じて弱くなります。電荷間の距離が2倍になれば、力の大きさは2²分の1、つまり4分の1になるのです。

なぜ電気の種類をプラスかマイナスで区別するかというと、同種だと上の式中の電荷の積が正の値に、異種の電荷だと積が負の値になります。すると力も正か負の値になり、正だと2つの電荷の間には斥力(互いに遠ざけようとする力)、負だと2つの電荷の間に引力が働くと決めておけば、1つの式で全て表せて便利なのです。

kは比例定数です。クーロンの実験から言えるのは、力の大きさFとq1q2/r²の間には比例関係があると言えるだけです。力というのは既に別ところで定義されているものなので、両者が値までピッタリと合うわけがありません。比例定数というはいわばつじつま合わせのようなものなのです。もし、力というものがまだ定義されていなかったとしたら、上の式で比例定数を入れないでおいて、その式でもって力を定義することもできていたかもしれません。

kの代わりに1/4πε₀を比例定数として書いたりもします。πは値が決まっているので、ε₀が比例定数の役目を持ち、ε₀は真空の誘電率と呼びます。別のところで説明しますが、こう書く方が電気力線の数やガウスの法則を表すときに式がスッキリするのです。

\( F =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\cdots\cdots①\)

しかしこの式というのは、離れたところにある電荷と相互作用をすると言っており、その力を何が伝えているのかについては考えていません。こういった、何か物体を置けば瞬間的に離れたところに影響を及ぼすという考え方は遠隔相互作用と呼ばれています。

近接相互作用

遠隔相互作用による捉え方が主流だった時代に、ファラデーという人は、電荷を置くとその周りの空間が歪むので、その歪みが伝わって別の電荷が影響を受けるのではないかと考えました。

水面に波紋を起こすと波が離れたところに伝わるのに似ています。こういった、直接触れているものが影響を受けるという考え方は近接相互作用と言います。

クーロンの法則を考える上では、どちらの考え方でも問題ないのですが、電磁波については空間が歪むという考え方をしないと上手く説明することが難しくなることもあって、現代の物理学では近接作用で考えることが普通です。

電場

クーロン力を近接相互作用的に考えるというのはどういうことかと言うと、電荷を置くとその周りの空間が変化して、その中に別の電荷を持ってくるとその電荷は空間そのものから力を受けるような、そんな空間ができると考えるのです。その空間のことを電場と呼びます。

電場の定義

電場は、電荷が力を受ける空間ということですが、当然その電荷の電気量が変われば受ける力の大きさも違ってきます。また、電荷の符号でも力の向きが変わります。そんな電場を上手く表現するために、+1Cの電荷だったらどんな力を受けるかで電場を表すことにするのです。

ある点に+1Cの試験電荷を置いたときに、その試験電荷が受ける力でその点における電場を定義します。電荷q1がその周りにつくる電場E(r)は、上の式①でq2を1に置き換えたものにあたります。ただし電荷q1からの距離rの関数として表します。

\( E(r) = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon}\dfrac{q_{1}}{r^{2}}\)

電場の強さを知りたい場所までの距離をrに入れてあげれば、その場所での電場の強さが出てきます。上の定義から電場の単位はN/Cで、1Cあたりの力(N、ニュートン)ということです。

こうしておけば、電荷q1のつくる電場E(r)から電荷q2受ける力Fというは

\(F=q_2E(r)\)

と表すことができます。当然、この式は式①と同じことを表していますが、近接作用的に考えているためにこのような表現をするのです。

電場はベクトル

力というのがベクトルで表されるように、電場もベクトルで表すものです。電場ができている空間上の全ての点について+1Cが受ける力をベクトルで表すということです。これは数学的に言うとベクトル場というもので、空間上の座標に対して、大きさと向きという2つの要素(ここでは力を表す)を紐付けるようなある種の関数と言えます。

点電荷のつくる電場

点電荷というのは、一点に集中して存在する電荷のことです。点電荷というのはつくり出される電場の形が単純なため、簡単に電場を式で表すことができるのです。

実は上で考えていた電荷q1やq2というのは点電荷として考えていました。電場は大きさと向きを持つベクトルだと書きましたが、上の式ではとりあえず大きさの方だけを表していたんです。ここからは点電荷のつくる電場をちゃんと向きの要素も持たせたベクトルとして表すことを考えます。

点電荷がつくる電場というのは、その電荷を中心に球対称に広がっており、半径が同じ球面上では強さが一定です。結局、距離だけで強さが決まるということです。図は平面的に描いています。

電場を完全に表すには、大きさだけでなく向きも必要なので、ベクトルとして記述します。空間上の位置r0に置いた点電荷qがrという場所につくる電場E(r)は

\( \boldsymbol E(\boldsymbol r) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{\left| \boldsymbol r-\boldsymbol r_{0}\right|^{2}}\dfrac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_{0}}{\left| \boldsymbol r-\boldsymbol r_{0}\right|} \)

と表せます。太文字で書いたものはベクトルを表すという約束があって、r - r0というのは点電荷からの今考えている位置に向かうベクトルです。|r - r0|はその長さ、つまり点電荷からの今考えている位置までの距離です。

r - r0というベクトルをその長さで割ることで大きさが1になり、力の働く方向だけを与えるベクトルになります。数学的には単位ベクトルと呼ばれるものです。

電場を位置の関数として表すということ

上の式は位置を表すrの関数として書けているので、文字通り空間上の全ての点における電場を表現していることになります。ここがクーロンの法則だけを考えて作った式と根本的に異なるところで、近接相互作用的に考えるためにこのような形にするのです。

上でも少し触れましたが、このように表しておけば、位置rのところにある電荷qが電場から受ける力Fというのは

\(\boldsymbol F= q\boldsymbol E(\boldsymbol r)\)

と書けることになります。電場の、rという場所における値を使って表現できているのです。

連続的に分布する電荷がつくる電場

ここまでは点電荷のつくる電場について説明しましたが、現実的には電荷というのは何らかの形を持ったものに広がって存在しています。電荷が一点だけに存在するのではなく、何かの形に合わせて電荷が連続的に分布していた場合、その電荷がつくる電場というのは点電荷のように単純ではありません。

電荷分布というのは、単位体積あたりでその場所にはどれだけの電荷があるか(電荷密度)で表すものなのです。r’という位置の電荷密度が𝜌(r’)になるように電荷が分布していたとすると、その周りにできる電場E(r)というのは

\(\begin{align}\boldsymbol E(\boldsymbol r) = \int\dfrac{\rho(\boldsymbol r')}{4\pi\varepsilon_0\left| \boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|^{3}} (\boldsymbol r-\boldsymbol r')dV'\end{align}\)

と表されます。𝜌(r’)dVというのは、電荷が分布している領域のうち体積dVの微小な領域を考えて、その中に存在する電荷を表しています。十分小さい領域の電荷がつくる電場は点電荷がつくる電場と同じものとみなして、微小領域がつくる電場を積分しているのです。